一次性解决牛吃草的经典问题

user1256 · 发表于 2018-11-12 10:13:41

牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
（1）草的生长速度
＝对应的牛头数吃的较多天数－相应的牛头数吃的较少天数
（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数吃的天数－草的生长速度吃的天数；`
（3）吃的天数＝原有草量（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

? 自学指导
解答牛吃草问题，困难在于草的量不停在变！它每天都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量由两部分组成︰（1）某个期限前原有的草量；（2）这个期限后，每天新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。
解决牛吃草问题的关键是了解牧场草的生长情况，即原有的草量及每天新增的草量。题目给出的条件涉及3个量，即牛数、草量和天数。使用比较的方法可以求得上述的两种量。为方便比较，要使两种情况的草场面积一致。了解有关牧场草的情况之后，再研究牛的情况。一般可以从两个不同的角度考虑︰天数固定，草场的草的总量就知道；每天新增加的草量已知，就可以对牛的吃草情况进行分配。有时候，也可以用追及问题的想法去处理牛吃草问题。
解决牛吃草问题必须求出草的生长速度和草原上原有的草量，这是解决问题的关键。在大多数情况下，牛吃草问题的解决分成以下几个步骤︰应用基本公式（1）和（2），分别求出草的生长速度和原有的草量；根据题目的要求选择基本公式（3）或（4）来解答题中的所求问题。
? 经典例题
「例1」牧场上的青草，每周长一样密，一样快。如果这片牧场可供24头牛吃6周，
2 0头牛吃10周，那么这片牧场可供18头牛吃_____周。15周
思路剖析
解决本题抓住三点︰
1.把每头牛每天的吃草量看作是〝一个单位〞；
2.求出牧草每天的生长量(不会因牛的多少而改变)；
3.求出牧场上原来的草量(牛未吃之前的草量)。

「例2」牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问供25头牛可吃几天？ 5天
点拨
本题的难点在于草的总量未定，并且草会随时间的增长而增长。
第一步先求出草每天的生长量；
第二步求出原有的草量；
第三步设想用几头牛去吃新生的草，剩下的牛去吃原有的草。所需天数即为所求。

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