一次性解决余数问题及剩余定理

user1256

我想结合一道具体的实例谈谈自己的一点浅见，希望能够对有需要的人起到一点帮助。
例1： 一个数除以9余5，除以7余1，除以5余2，问最小的这个数是多少？（自然数）
假设这个数x =35a+45b+63c       （35为5，7公倍数； 45为5，9公倍数；63为7，9公倍数）
条件1：除以9余5 ，45b和63c都可被9整除，因此35a除以9余5，可知35a=140时满足（ a=4这个值需要尝试，属于计算问题）
条件2：除以7余1 ，35a和63c都可被7整除，因此45b除以7余1，可知45b=225时满足
条件3：除以5余2 ，35a和45b都可被5整除，因此63c除以5余2，可知63c=252时满足
因此当x =140+225+252+３１５ｎ　时，条件１，２，３都满足
X=315n+617
ｎ＝－１时，ｘ取最小值302
----------------------------------------------
以上套路看似繁琐，其实原理知道了，还是挺便捷的
一般问题（3个条件）的剩余定理解法应该是
1：构造3个数a，b，c
      x=a+b+c     （a是2，3除数的公倍数，满足条件1） （b是1，3除数的公倍数，满足条件2）（c是1，2除数的公倍数，满足条件3）
      a-----------条件1
      b-----------条件2
      c-----------条件3
2：这个数可以写作 x= T *ｎ＋ａ＋ｂ＋ｃ　（Ｔ为３个除数的公倍数）
3：根据题目所问，或者求最小的数，或者求满足条件的数有几个

======================================================
特殊的余数问题还有个小口诀
1：和同加和
2：余同加余
3：差同减差     （公倍数作周期）
例2：一个数除以5余2除以4余3，除以9余7，满足条件的三位数有几个？
5+2=4+3              此为和同，因此 x=20a+7 （20为公倍数，+7为加和）
x=20a+7=9b+7，此为余同，因此x=180n+7  （180为公倍数，+7为加余）
n 取 [1,5] 共5个
-----------------------------------------
例3：一个数除以5余1，除以6余2，满足条件的三位数有几个？
x=5a+1=6b+2
5-1=6-2=4，        此为差同，因此x=30n-4
n取 [4,33]  共30个
--------------------------------
有些余数问题可以套用公式的比较简单，不能套用公式的计算是避免不了的，因此只有平时多加练习考试才能遇而不乱~~